За круглым столом сидят рыцари



За круглым столом сидят рыцари

а) В городе Глупове каждый житель — полицейский, вор или обыватель. Полицейские всегда врут обывателям, воры — полицейским, а обыватели — ворам, а во всех остальных случаях жители города говорят правду. Однажды, когда несколько глуповцев водили хоровод, каждый сказал своему соседу справа: «Я — полицейский». Сколько в этом хороводе было обывателей?

б) За круглым столом сидят 10 человек, каждый из которых — одного из двух типов: лжец (всегда лжет) или рыцарь (всегда говорит правду). Каждый из них утверждает:

«Мои соседи слева и справа — разного типа». Сколько лжецов сидит за столом?

в) Хоккейная команда, насчитывающая 28 человек, состоит из рыцарей (всегда говорят правду) и лжецов (всегда лгут). Однажды каждый игрок сделал заявление. Первый сказал: «Количество рыцарей в команде делитель — 1». Второй сказал: «Количество рыцарей в команде — делитель 2» и так далее до 28‐го, который сказал: «Количество

рыцарей в команде — делитель 28». Определите, сколько в команде рыцарей.

а) Рассмотрим обывателя и его соседа слева. Очевидно, он никогда не может сказать, что он полицейский. Поэтому обывателей не было.

б) Допустим, первый человек рыцарь. Тогда один из его соседей (назовем его вторым) — тоже рыцарь. Тогда (рассматривая его) находим, что третий — лжец. Из его фразы теперь следует, что четвертый — рыцарь. Аналогично устанавливаем, что пятый — рыцарь, шестой — лжец, седьмой и восьмой — рыцари, девятый — лжец, десятый — рыцарь. Но тогда оба соседи первого — рыцари, как и он. Противоречие. Значит, рыцарей за столом нет.

в) Пусть в команде n рыцарей. Тогда они говорили правду, называя числа, делителями которых является n. Очевидно, это числа n, 2n, 3n, — самые маленькие n чисел, кратных n. Тогда откуда

— обоснованное решение п. б;

— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);

Источник

математическая-логика — Логическая задача

За круглым столом сидят 1000 человек, каждый из них либо рыцарь, либо лжец. Известно, что у каждого из них за столом сидит ровно один родственник, причем родственник рыцаря всегда лжец, а родственник лже- ца — всегда рыцарь. Каждого спросили: «Ваш родственник сидит рядом с вами?». 500 человек, сидящих через одного, ответили «Да». Сколько из остальных могли также ответить «Да»?

задан 2 Апр ’17 20:46

2 ответа

Никакие два из этих 500 — не родственники, потому что в этом случае они сидят не рядом, а значит, солгали, но из двоих родственников один — рыцарь.

Поэтому все их родственники — среди остальных 500. Если из опрошенных 500 ровно k рыцарей, то все их родственники действительно сидят рядом с ними, а так как они лжецы, и на заданный им вопрос должны будут ответить «нет». Прочие (500-k) из 500 — лжецы, они солгали, то есть их родственники не сидят рядом с ними, при этом они являются рыцарями, поэтому тоже ответят «нет».

Таким образом, никто из остальных 500 ответить «да» не мог

отвечен 2 Апр ’17 23:21

По условию, количество рыцарей и лжецов за столом одинаковое, так как они попарно связаны отношением родства. Пусть имеется k родственных пар типа РЛ, сидящих рядом (мы допускаем случай k=0). Во всех этих парах рыцари сидят на местах одной и той же чётности. В противном случае в число опрашиваемых попадёт как рыцарь, так и лжец, из числа сидящих рядом со своим родственником. Но тогда ответ лжеца не может оказаться правдивым.

Далее, если те пары, о которых мы говорим, имеются, то лжецы не входят в число опрашиваемых. Тогда k рыцарей говорят «да», а остальные 500-k опрашиваемых должны быть лжецами, так как они не сидят рядом со своим родственником. Значит, среди не опрошенных имеется 500-k рыцарей и k лжецов. Никто из числа рыцарей среди них со своим родственником не сидит, а k лжецов входят в k учтённых выше пар. Тогда получается, что никто не даст ответ «да».

Читайте также:  Гостиная с шкафом для одежды и компьютерным столом

отвечен 3 Апр ’17 0:20

@falcao, а мой ответ не был виден, показался непонятным или просто «не совпал по духу»? Мне-то показалось, что наши ответы синонимичны с точностью до направления рассуждений

@knop: здесь всё очень просто. Я открыл окно с этим вопросом вскоре после того, как он появился. Но ответ продумал не сразу, а когда написал, но уже после этого увидел Ваш. Если бы я его увидел раньше, то сам бы не стал писать, конечно. Согласен, что оба решения почти идентичны.

Источник

Рыцари, лжецы и. марсиане

За круглым столом сидело 12 гостей. Среди них есть рыцари (всегда говорят правду), лжецы (всегда лгут) и марсиане. Про марсиан известно, что правду они говорят только марсианам, а всем остальным лгут. Известно, что каждый сидящий за столом сказал своему соседу справа: «Ты — лжец». Сколько рыцарей сидело за столом? Найдите все возможные варианты ответа и докажите, что других нет.

Эта задача была предложена на Зимнем туре Турнира Архимеда, прошедшем 19 января 2020 года.

Кажется, уже уходит эпоха изолированной жизни рыцарей и лжецов на острове. Теперь появляются в задачах и другие расы. На сей раз — марсиане.

Чтобы решить задачу, необходимо понять, кто кому может сказать фразу: "Ты — лжец".

Рыцарь, естественно, может сказать эту фразу только лжецу.

Марсианин не может сказать эту фразу марсианину, потому что своим соплеменникам они говорят исключительно правду. Значит, он соврал. Значит, он сказал эту фразу рыцарю.

А кому могли сказать эту фразу лжецы? Да кому угодно, только не лжецам! Т.е. и рыцарям, и марсианам.

Что же получается? После рыцаря обязательно стоит лжец, после лжеца либо рыцарь, либо марсианин (но тогда за ним стоит рыцарь). Значит, рыцари и лжецы стоят по парам. Так как человек 12, таких пар не более шести. Но шесть быть не может, потому что по условию задачи хотя бы один марсианин должен быть.

Теперь объясним, почему не может быть меньше четырёх рыцарей. К каждой паре рыцарь+лжец слева может быть приписан максимум один марсианин. Но троек не может быть больше четырёх.

Осталось лишь привести примеры, когда рыцарей четыре и когда рыцарей пять.

Источник

13.05.2021 Математика 7-10 класс ответы и задания пригласительный школьный этап ВОШ Сириус

1)Андрей, Борис и Денис ели конфеты, каждый ел со своей постоянной скоростью. Пока Борис ел 4 конфеты, Денис успевал съесть только 3. Андрей же ел конфеты быстрее всех: он съедал 7 конфет, пока Борис ел 6. Всего ребята съели 70 конфет. Кто сколько съел конфет?

2)Трое пиратов делили клад. Первому досталась треть от изначального количества монет и ещё 1 монета, второму досталась четверть от изначального количества монет и ещё 5 монет, третьему досталась пятая часть от изначального количества монет и ещё 20 монет (при этом все монеты оказались разобраны). Сколько монет было в кладе?

3)Четверо друзей Андрей, Борис, Вячеслав и Геннадий работают архитектором, баристой, ветеринаром и гитаристом. Однажды они вместе пошли в кино и купили билеты на четыре подряд идущих места. Оказалось, что: рядом с ветеринаром сидят архитектор и гитарист; у баристы сосед справа — Вячеслав; Геннадий сидит правее и Бориса, и Вячеслава; Борис знает обоих своих соседей; гитарист и бариста сидят не рядом. У кого какая профессия?

Читайте также:  Игры для компании за столом викторины

4)В треугольнике ABC были проведены медиана CM и биссектриса BL. Затем с чертежа стёрли все отрезки и точки, кроме точек A(8;13), M(11;11) и L(6;9). Какие координаты имела точка C?

5)Если взвод солдат разбить на бригады по 7 человек, то 2 человека не войдут ни в одну бригаду. Если же взвод разбить на бригады по 12 человек, то снова 2 человека не войдут ни в одну бригаду. Какое минимальное количество солдат надо добавить во взвод, чтобы его целиком можно было разбить как на бригады по 7 человек, так и на бригады по 12 человек?

6)В ряд высажено 101 дерево: тополя, берёзы и сосны. Между каждыми двумя тополями растёт хотя бы одно дерево, между каждыми двумя берёзами растёт хотя бы два дерева, между каждыми двумя соснами растёт хотя бы три дерева. Сколько сосен могло быть высажено? Укажите все возможные варианты.

7)В трёх из шести кругов диаграммы записаны числа 4, 14 и 6. Сколькими способами в оставшиеся три круга можно поставить натуральные числа так, чтобы произведения троек чисел вдоль каждой из трёх сторон треугольной диаграммы были одинаковыми?

8)Дан равнобедренный треугольник ABC (AB=BC). На луче BA за точкой A отмечена точка E, на стороне BC отмечена точка D. Известно, что ∠ADC=∠AEC=60∘,AD=CE=19. Найдите длину отрезка AE, если DC=11.

Видеоразбор заданий олимпиады для 7 класса:

Пригласительный школьный этап ВОШ 2021 по математике 8 класс:

1)В квадрате 5×5 покрасили в чёрный цвет некоторые клетки так, как показано на рисунке. Рассмотрим всевозможные квадраты, стороны которых идут по линиям сетки. В скольких из них одинаковое количество чёрных и белых клеток?

2)Среднее арифметическое трёх двузначных натуральных чисел x,y,z равно 40. Какое наибольшее значение может принимать выражение x+yz?

3)В треугольнике ABC известны стороны AC=22 и AB=8. Окружность с центром O, построенная на стороне AC как на диаметре, пересекает сторону BC в точке K. Оказалось, что ∠BAK=∠ACB. Найдите площадь треугольника BOC.

4)Найдите любое решение ребуса A B C A ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ = 455 ⋅ C D ¯¯¯¯¯¯¯¯ , где A, B, C, D — четыре различные ненулевые цифры (запись XY…Z¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ означает десятичную запись числа). В качестве ответа напишите четырёхзначное число

5)В забеге участвовали несколько людей, среди которых были Андрей, Дима и Лёня. Никакие два участника этого забега не прибежали одновременно. Людей, прибежавших до Андрея, в 2 раза меньше, чем людей прибежавших после него. Людей, прибежавших до Димы, в 3 раза меньше, чем людей, прибежавших после него. Людей, прибежавших до Лёни, в 4 раза меньше, чем людей прибежавших после него. Какое наименьшее количество людей могло участвовать в забеге?

6)Натуральное число назовём интересным, если все его цифры различны, а сумма любых двух рядом стоящих цифр — квадрат натурального числа. Найдите наибольшее интересное число.

7)Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором AB=AC и ∠ABC=54∘. Точка K такова, что C — середина отрезка AK. Точка M выбрана так, что: B и M находятся по одну сторону от прямой AC ; KM=AB ; угол MAK — максимальный из возможных. Сколько градусов составляет угол BAM ?

8)Компьютер умеет применять к числу три операции: «увеличить на 2», «увеличить на 3», «умножить на 2». В компьютер ввели число 1 и заставили его перебрать всевозможные комбинации из 6 операций (каждая из таких комбинаций применяется к исходному числу 1). После скольких из этих комбинаций у компьютера в итоге получится чётное число?

Видеоразбор заданий олимпиады для 8 класса:

Пригласительный школьный этап ВОШ 2021 по математике 9 класс:

1)В первый час смены мастер изготовил 35 деталей. Затем он понял, что, сохранив текущую скорость, ему придётся задержаться на час, чтобы выполнить план на смену. Увеличив свою скорость на 15 деталей в час, он выполнил план на полчаса раньше окончания смены. Сколько деталей должен изготовить мастер за смену?

Читайте также:  Прозрачная клеенка за столом

2)В первый час смены мастер изготовил 20 деталей. Затем он понял, что, сохранив текущую скорость, ему придётся задержаться на час, чтобы выполнить план на смену. Увеличив свою скорость на 15 деталей в час, он выполнил план на полчаса раньше окончания смены. Сколько деталей должен изготовить мастер за смену?

3)Фермер сказал: «У меня есть N кроликов. Длинные уши ровно у 13 из них. А умеют далеко прыгать ровно 18 из них». Путник справедливо заметил: «Следовательно, среди Ваших кроликов гарантированно хотя бы 3 кролика одновременно и имеют длинные уши, и умеют далеко прыгать». Какое наибольшее значение может принимать число N ?

4)За круглым столом сидят 40 рыцарей и 10 самураев. Ровно у 7 рыцарей сосед справа — самурай. Какое наибольшее количество рыцарей могло сидеть рядом с двумя рыцарями?

5)Дан прямоугольник ABCD. Окружность пересекает сторону AB в точках K и L, а сторону CD — в точках M и N соответственно (K лежит между A и L, M лежит между C и N). Найдите длину отрезка MN, если AK=11, KL=17, DN=7.

6)Учитель написал на доске число. Саша решил поделить его с остатком на 102, а Маша — на 103. Оказалось, что частное, полученное Сашей, и остаток, полученный Машей, в сумме дают 20. Какой остаток получил Саша? Укажите все возможные варианты.

7)Через точки A(0;14) и B(0;4) проведены две параллельные прямые. Первая прямая, проходящая через точку A, пересекает гиперболу y=1x в точках K и L. Вторая прямая, проходящая через точку B, пересекает гиперболу y=1x в точках M и N.

8)Компания ребят решила поиграть в компьютерную игру. Любые два человека либо играют сообща, либо друг против друга; причём если игрок A играет сообща с B, а B играет против C, то A тоже играет против C. Из скольких ребят состоит компания, если у каждого игрока было ровно 14 соперников? Укажите все возможные варианты.

Видеоразбор заданий олимпиады для 9 класса:

Пригласительный школьный этап ВОШ 2021 по математике 10 класс:

1)Равносторонний треугольник со стороной 11 разбит на 121 маленький равносторонний треугольничек со стороной 1. Найдите количество ромбов, состоящих из 8 маленьких треугольничков (такие ромбы можно поворачивать).

2)Ровно в полдень из посёлка выехал грузовик и поехал в город, в это же время из города выехал автомобиль и поехал в посёлок. Если бы грузовик выехал на 45 минут раньше, то они бы встретились на 36 километров ближе к городу. А если бы автомобиль выехал на 20 минут раньше, то они бы встретились на k километров ближе к посёлку. Найдите k.

3)Рассмотрим последовательность. Например, a1=cos1∘,a6=cos100000∘ . Сколько среди чисел a1,a2,…,a200 положительных?

4)В трапецию ABCD вписана окружность ω, L — точка касания ω и стороны CD. Известно, что CL:LD=1:4. Найдите площадь трапеции ABCD, если BC=12, CD=40.

5)В клетчатой таблице 5 строк и 6 столбцов; в каждой клетке стоит либо крестик, либо нолик, либо звёздочка. Известно, что: в каждом столбце число ноликов не меньше числа крестиков; в каждом столбце число ноликов не меньше числа звёздочек; в каждой строке число крестиков не меньше числа ноликов; в каждой строке число крестиков не меньше числа звёздочек. Сколько звёздочек может быть в такой таблице? Укажите все возможные варианты.

6)Оля нарисовала на плоскости N различных прямых, любые две из которых пересекаются. Оказалось, что среди любых 18 прямых обязательно найдутся две, угол между которыми равен 60∘. При каком наибольшем N такое возможно?

7)Действительные числа x и y таковы, что x3+15xy+y3=125. Чему может равняться x+y? Укажите все возможные варианты.

Источник

Adblock
detector